由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=f(x)有实数解，因此“求f(x)的值域。”这一问题可转化为“已知关于x的方程 y=f(x)有实数解，求y的取值范围。”因此先将y表示成关于x的二次函数，在求解对应一元二次方程有实数根时的y的取值范围，就是原函数y=f(x)的值域。你所说的“x属于R或有一点不可取”是指要先确定原函数的定义域，再结合x的取值范围求出值域。
(3)原函数定义域为R。y=(2x^2+4x-7)/(x^2+2x+3)=[2(x^2+2x+3)-1]/(x^2+2x+3)=2-1/(x^2+2x+3)=2-1/[(x+1)^2+2].(x+1)^2>=0,(x+1)^2+2>=2,2-1/[(x+1)^2+2]>=2-1/2=3/2
值域为[3/2,+∞)
(4)原函数定义域为R，y=(x+1)/(x^2+x+1),分母乘过去得yx^2+xy+y=x+1,yx^2+(y-1)x+y-1=0,判别式△=(y-1)^2-4*y*(y-)=(y-1)()(4)原函数定义域为R，y=(x+1)/(x^2+x+1),分母乘过去得yx^2+xy+y=x+1,yx^2+(y-1)x+y-1=0,判别式△=(y-1)^2-4*y*(y-)=(y-1)(3y+1)<=0
解得定义域为[-1/3,1]
不考虑x的取值范围的，用判别式法的一般前提是分式的分母恒不为零，如y=(x+1)/(x²+x+2)等，分子分母不超过二次（但至少也得有一个是二次的，否则你用判别式法我看看），这个可以直接用
其实分母有可能等于零也是可以的，如y=(x+1)/(x²-x-2)，，当x=-1和2时分母为零，记得先化简约分就没事了
若分母有可能为零，且不能约分的，如y=1/(x²-x-2)，直接用判别式法求的y的取值范围是 y≥0或者y≤-4/9 然后把 0 和 -4/9代入验证一下，去曾根即可；
全了，一般第一种最常见，第三种很少见，记得给分；
不考虑x的取值范围的,用判别式法的一般前提是分式的分母恒不为零,如y=(x+1)/(x²+x+2)等,分子分母不超过二次（但至少也得有一个是二次的,否则你用判别式法我看看）,这个可以直接用
其实分母有可能等于零也是可以的,如y=(x+1)/(x²-x-2),当x=-1和2时分母为零,记得先化简约分就没事了
若分母有可能为零,且不能约分的,如y=1/(x²-x-2),直接用判别式法求的y的取值范围是 y≥0或者y≤-4/9 然后把 0 和 -4/9代入验证一下,去增根即可；
对于分式函数 y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) ：
由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有实数解，因此“求f(x)的值域。”这一问题可转化为“已知关于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有实数解，求y的取值范围。”
把x作为未知量，y看作常量，将原式化成关于x的一元二次方程形式（＊），令这个方程有实数解，然后对二次项系数是否为零加以讨论：
（1）当二次项系数为0时，将对应的y值代入方程（＊）中进行检验以判断y的这个取值是否符合x有实数解的要求，……
（2）当二次项系数不为0时，∵x∈R，∴Δ≥0，……
此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形。
原问题“求f(x)的值域。”进一步的等价转换是“已知关于x的方程 y(dx^2+ex+f)=ax^2+bx+c 至少有一个实数解使得 dx^2+ex+f≠0，求y的取值范围。”
【举例说明】
1、当函数的定义域为实数集R时
例1 求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x+1)的值域.
解：由于x^2+x+1=(x+12)^2+34>0，所以函数的定义域是R.
去分母：y(x^2+x+1)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x+(y-1)=0.（＊）
(1)当y≠1时，由△≥0得0≤y≤4;
(2)当y=1时，将其代入方程（＊）中得x=0.
综上所述知原函数的值域为〔0，4〕.
2、当函数的定义域不是实数集R时
例2 求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x-2)的值域.
解：由分母不为零知，函数的定义域A={x|x≠-2且x≠1}.
去分母：y(x^2+x-2)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x-(2y+1)=0. （＊）
(1)当y≠1时，由△≥0得y^2≥0�y∈R.
检验：由△=0得y=0，将y=0代入原方程求得x=1，这与原函数定义域A相矛盾，
所以y≠0.
(2)当y=1时，将其代入方程（＊）中得x=1，这与原函数定义域A相矛盾，
�
所以y≠1.
综上所述知原函数的值域为{y|y≠0且y≠1}.
判别式法求值域就是把Y看作关于X的二次方程的系数，定义域是R的时候，满足 △大于等于0就可以了，如果定义域不是R，那就要多加些限制条件。比如定义域是正数好了，那么除了△大于等于0，还要满足两根和大于0，两根积大于0。其实就是根与系数的关系呀，定义域是正数么啊就是方程两根为正拉。。。。。一般定义域不是R的话，用判别式法求值域会比较繁琐，还不如用别的方法，所以老师会强调判别式法求值域必须在定义域为R的时候用。
这个不知道你能不能理解，是这样的，函数与方程实际形式是一样的，只是一边是值域一边是确切的数值而已！假如将Y换成一个个得数值就是方程了！当吧所有数都取了也就是值域了！然后移向就是方程，然后就是判别式判别是否有解就行了！
或者这么说将二次函数y=ax^2+bx+c图象画出来，然后再将y=p这条直线，平移，当他与二次函数有交点时就说明ax^2+bx+c=p有解那么判别式就会大于等于零，当没有交点时判别式就会小于零，综合二次函数图象估计你能理解吧！
要求定义域“等于”R。将解析式恒等变形后，得到系数含参数y的关于x的二次方程。只有在R内有根的充要条件才是判别式大于等于零。如果x不能在某个区间上取值的话，即不仅有根，而且限定了根的存在区间，那么显然不止需要满足判别式了。假如有分母的零点，使得定义域在R上略有“瑕疵”，如果整理成为x的二次方程后，这些值显然取不到，也不需要担心，可以用判别式。另外，用判别式求出的是y可取的范围，然而对于这个范围的每一个值，由于满足判别式，因此它一定是某个x的函数值，即一定都能取到，因此是值域。
雨露，是万物生长的灵丹妙药，它能让万物欣欣向荣，给人带来希望和欢乐。起名，是给孩子取名最重要的一步，因为名字，在某种程度上就是一种文化。一个好的名字，可以让孩子从小拥有一个好的起点。那么，旸字取名呢，有着什么样的寓意及含义？
1、旸是五行金之字，五行属水，寓意孩子聪明机智，有大智慧，富有爱心。
根据五行属性来取名，金能克水，就像是金被水淹没了，所以会出现水变少，阳气不充足的情况。而旸字五行属水，表示有希望的样子，寓意孩子聪明机智，有大智慧，富有爱心，有爱心之义，对人非常友好，人缘非常好。由于在起名时需要注意五行八字，所以名字要避开太多不利因素。例如孩子取名为旸这个名字时，可选择五行属金且与水相冲或水火相济或金水相济等字面寓意相搭。
2、旸字是木之金之字，五行属木，为金之态，寓意孩子金木水火土五行协调，和谐发展。
雨露的滋润，日出而作，日落而息，都让人感到无比满足。旸，字音shèng,寓意着孩子有一颗包容和感恩之心。这与“日出而作、日落而息”有异曲同工之妙……旸给人带来欢乐、吉祥的同时，也寓意着孩子金木水火土协调发展……
3、旸是一种很有灵性的字，可形容孩子生机勃勃，乐观向上。
【旸】有光明、温暖、明朗的意思，可用作名字。【阳凯是太阳之意。【阳阳阳】阳代表明亮，阳代表光明及温暖。用阳代表光明的事物，表示孩子生机勃勃，乐观向上。【阳欣可表示欣欣向荣之意。【阳和】可表示温暖的意思。
4、旸字取名，寓意孩子乐观向上，对生活充满希望。
旸字寓意孩子乐观向上，对生活充满希望，乐观积极的生活态度，有助于提高孩子的自信心。另外旸字取名还有着积极向上、乐观开朗、吉祥幸福、生活美满、幸福美满等美好祝愿，其寓意吉祥。而且旸在中国汉字里是非常多见的一个字，我们可以将这个字用在名字中来表达。旸字取名代表着孩子未来很美好而充满希望。如果将其用于起名中，则代表着孩子未来会有很多希望。同时也象征着孩子将来会有所成就。
5、旸作为名字有吉祥富贵之意。
旸这个名字，在很早的时候就被赋予了吉祥富贵的寓意，因为它在名字中的意思很多。所以有很高的吉祥富贵之意。这个名字将孩子命名为【旸】具有美好的寓意。